導讀：由此可見，兒童又有多少與成人不同的思維方式，他們又有多少創造性思維方式沒有被我們所發掘。這是不是也在說明“在培養兒童的創造力過程中，只要我們不扼殺兒童的創造力，就謝天謝地了”呢？

　　1案例

　　2005年2月25日上午，我正坐在床上看書，我的女兒跑來纏著要做加法。此時，她才5歲零3個月，在上幼兒園學前班；數學口算會10以內的整數加法，勉強會20以內的整數加法，基本不會減法；此前不久，經北京東方兒童教育研究所測試顯示，其智力發展處于中等水平。

　　實在被纏得沒有辦法，我就應付地問到“1+1等于幾？”她答“2”。再問“2+2等于幾？”她答“4”。又問“4+4等于幾？”答“8”。最后問“8+8等于幾？”由于數字過大，她答不上來，我只好告訴她結果。

　　本來我是想讓她不要再問了，可是她又提出做減法的要求（大概是由于在約1個月前的智力測試時，兩個減法題均未答出的緣故，使她想學減法）。于是我就開始嘗試著教她減法。

　　第一段，引出減法概念。我問：“5-2等于幾？”她好象不太明白什么是減。我就說：“潘玥最喜歡吃蘋果了，媽媽買來5個蘋果，玥玥一口氣就吃了2個。現在還剩幾個？”她說：“3個。”我說：“對了，5-2就是5個蘋果吃掉2個蘋果。5個蘋果吃掉2個還剩3個蘋果，說明5-2等于幾呢？”她答“3”，同時她用期待的目光望者我，希望得到我的肯定。可能在我給她肯定和表揚后，她才明白原來這就是減法。接著我改變數字又問了兩個吃蘋果的減法問題，她都能一一回答正確。我給她一番夸獎之后，使教學進入了下一階段。

　　第二段，把問題變成被減數是10的買蘋果的問題。我問：“由于爸爸的粗心，昨天買來10個蘋果，里面有2個壞的，你說還有幾個是好的呢？”她在心理默默地數了數后答到：“8個。”我又問：“第二次是媽媽晚上去買的蘋果。由于看不清楚，買回10個蘋果中就有3個是壞的，那——還有幾個是好的呢？”她思考幾秒鐘后答到：“7個。”我再問：“第三次是奶奶晚上去買的水果，她更是看不清楚，結果買的10個中就有5個是壞的。你說還有幾個是好的？”她答：“5個”。看來她對減法的涵義已經掌握，于是我又是一番夸贊之后，使教學轉入了第三段。

　　第三段，脫離實物的純數字的減法運算。我以遞減的方式依次問5-3等于幾、5-2等于幾、5-1等于幾、5-0等于幾。前三問她都能借助于吃蘋果進行思考（我聽到她在思考第一問時小聲地說了聲“吃蘋果”），并一一說出正確答案。見她答不出第四問，我就解釋到：“減零表示吃掉零個，吃掉零個表示一個都不吃。”然后問：“5個蘋果一個都沒有被吃掉，還剩幾個？”她答：“5個。”我重新問：“5-0等于幾？”她答：“5。”接著我又問6-0等于幾、10-0等于幾、100-0等于幾，她都能回答正確。為了引入差為零的減法，我就以遞增的方式依次問5-3等于幾、5-4等于幾、5-5等于幾。前兩問她能迅速地說出答案，對第三問她遲疑了一下之后，也小聲地說出了是零（她在這之前已經有零的概念）。我給予肯定之后，又依次問6-6等于幾、10-10等于幾、100-100等于幾、103-103等于幾、1萬減1萬等于幾、0-0等于幾。她都能迅速回答（回答這些問題之前，好象沒有怎么思考，可能采用的是類推的思維方式）。我在給她一番表揚后，又提出了下面的問題。

　　第四段，差為負整數的減法。我依次問2-1等于幾、2-2等于幾、2-3等于幾。第三問她回答不了，我就啟發到：“有2個蘋果，玥玥想要吃3個，還差幾個？”她說：“差1個。”我說：“對了，差1個就是-1，差2個就是-2。”她接著插嘴說“差3個就是-3。”我說：“對。所以2-3=-1。再來，2-4等于幾？現在有2個蘋果，玥玥要想吃4個，還差幾個？”“差2個。”“那么2-4等于幾？”答：“等于負2。”我又問“1-4等于幾”，她回答“等于負3”。此時我感到十分驚喜，差為負整數的減法她也會了。這在成年人看來好象有點不可思議，一個剛學減法的學齡前兒童居然這么容易就學會了初中一年級學生才學習的內容。我重重地夸贊一番之后，又依次問1-1、1-2、1-3、2-5等于幾，她都能一一回答正確。看來她真正學會了差為負整數的減法，于是我就試著將教學轉入下面的內容。

　　第五段，被減數是負整數的減法。我問“0-1等于幾”后，見她有點遲疑，就啟發到：“你想啊，本來沒有蘋果，想吃1個，差幾個呢？”答：“差1個。”我說：“所以0-1等于-1。”接著我又依次問0-2、0-3、0-4、0-100等于多少，這下她都能一一回答正確（可能她又是用的類推的方法，從而得出經驗并記住了這一經驗：零減去幾就等于負幾，并且感悟到0下面是-1，-1下面是-2，以后依次是-3，-4，…）。為了鞏固這一成果，我又依次問5+0、0+5、5-0、0-5等于幾，她都能回答正確。這說明被減數為零的減法她已經掌握。然后我又用遞減法依次問2-1、1-1、0-1、-1-1等于幾。前三問她能很快說出答案；第四問我給她解釋到：“-1表示已經差一個蘋果了，再減一就是還要差一個，這樣就差幾個了？”答：“差兩個。”“所以-1再減1就等于-2。那么-1再減2呢？”她答“等于-3。”我給予肯定之后，又依次問-1-3、-2-2、-2-4等于幾，這些她都回答正確了。這真使我喜出望外。居然被減數為負數的一位整數的減法她也學會了！

　　第六段，加法與減法同時進行。為了鞏固前面的學習成果，我提出了以下幾組問題。第一組是對偶問題“2+3、3+2、3-2、2-3分別等于幾”；第二組也是對偶問題“10+0、0+10、10-0、0-10分別等于幾”；第三組是頂針問題“5-2、3-2、1-2、-1-2分別等于幾”。她對這三組問題都能一一回答正確，這說明被減數為零或者負數的一位整數的減法她已經掌握了。接下來我就開始擴大戰果。

　　第七段，多位整數的加減法。第一組是頂針對稱問題，分別問10+10，20+20，40+40，80+80等于多少。在提示10+10等于20后，她就能類推出“20+20=40，40+40=80，80+80等于16十”，但其中的“16十”應糾正為“1百6十”。第二組為任意整十、整百或整千的加法，分別問10+30，50+20，1百+4百，4千+3千等于多少。她都能通過類推說出答案，或者將十、百、千作為整體單位進行計算（如四千加三千就相當于四個蘋果加三個蘋果）。第三組為整十數與一位整數的加法，分別問10+3，10+9，20+8，50+2，3+10，5+30，7+90等于多少。前4問她都能通過類推說出答案，第5問有點困難，但提示糾正后，接下來的兩問都能回答正確。第四組為整十與整百相加，分別問100+10，100+20，100+50，200+30，400+70，2000+300，20+400，40+700。得到第一問的提示后，她對前6問都能類推出結果，但是后2問類推的結果“24百和47百”應糾正為“420和740”。第五組為整十與整十或整百與整百相減，分別問50-30，30-40，600-400，100-300，-100-200等于多少。她也能由以上經驗類推出正確答案。

　　這太好了，在一般的成年人看來，一個智力中等、僅5歲零3個月大小的兒童，從開始學習減法到能正確說出“-100-200”的答案竟只需要約半小時時間。真是有點不可思議。

　　第八段，用所學減法知識解決實際問題。首先，我問：“爸爸給玥玥5元錢買牛奶，玥玥買一盒牛奶用了2元。賣牛奶的阿姨該找回幾元呢？”由于所給信息較多，數量關系又具有隱含性和復雜性，她思考時不停地問給了幾元錢、買了幾盒牛奶、牛奶多少錢。通過不斷提供數據信息，并逐步啟發，她還是用減法得出了正確答案。接著，我進一步問：“爸爸給玥玥5元錢去買牛奶，玥玥買一盒牛奶用了2元，賣牛奶的阿姨補給你2元。阿姨是多給還是少給了？”當她答“少給了”后，我又問少給了多少，這時她也能用減法算出少了1元。最后，我把問題變得更為復雜：“爸爸給玥玥10元錢，玥玥在超市里買一盒牛奶用去2元，買一斤蘋果用去3元。問阿姨該補給你幾元？”當她回答后，我進一步依次問：“要是阿姨給了你6元，她給對了嗎？是多給了還是少給了？多給了多少？”對于5歲多一點的兒童來說，盡管要回答這一連串問題顯得有點困難，但是通過這樣的訓練，卻能使之在潛意識里體會到加法與減法的真正涵義，從而提高其運用知識解決實際問題的潛意識和潛能力。這才是數學教育的真諦。

　　2啟示

　　事后，筆者感到以上案例具有一定的研究價值，于是對它進行了詳細的整理與反思。現將反思所得幾點啟示羅列如下，希望它能引起數學教育同仁的共同研討，并從中挖掘出更有價值的東西。

　　（1）現有中小學數學教材編排體系值得質疑。現有教材的編排體系是否合理，即教材中的數學知識應以什么次序編排、以什么形式組合、以什么方式呈現，我們對這些問題的認識或許還帶有相當程度的盲目性。本案例中，筆者并不是按照小學數學教材的知識體系進行加減法教學，而是以十以內甚至五以內的整數加減法為知識的固著點和生長點，牽帶出包括“整十整百的加減法”、“被減數是負整數的減法”和“被減數是負整百的減法”等知識在內的一連串知識的。恐怕這是世界上任何一個國家的小學數學教材中都沒有的現象。既然這些知識可以如此整合，那么教材中還有沒有其他知識應該并且可以重新整合呢？若有，又有那些需要整合，又該怎樣整合呢？這些都是需要和值得我們深入研究和探討的。

　　（2）引導方法得當可使較難知識變得容易。像本案例中“-100-200=？”這一問題，在一般人看來，應該是學完小學數學知識的初中一年級學生才能學習的，然而，由于引導方法得當，一位普通的學齡前兒童在約半小時內，也是可以學會解決的。在此教學過程中，一方面，筆者采用了吃蘋果、買蘋果、買牛奶等這些兒童最貼近的實例作為教育情景進行減法教學。這有利于激發兒童的興趣，有利于刺激兒童積極思維。另一方面，筆者在提問時，常采用頂針、對偶、對稱和排比等手法，使問題一個扣一個地步步攀升，也使兒童感到學起來饒有興趣。第三，本案例采用小步推進、小數字計算的教學策略，使兒童即使在計算“-100-200=？”這一看似高難度的問題時，也不感到困難。因此，方法得當能使困難問題變得簡單；方法失當則會使簡單問題變得困難。

　　（3）人們普遍認為“授之以魚不如授之以漁”，但筆者認為“授之以漁又不如授之以欲”。本案例最成功之處并不在于使兒童學會了被減數為負數的整數減法這一對兒童而言看似高深的知識，也不在于教學方法運用有多么的巧妙，而是在于引導者不斷地激起了兒童的學習欲望和學習數學的快樂感。教學中，每當兒童獲得小小成功時，引導者都會予以表揚和夸贊。整個過程中，引導者都在不停地說“很好、不錯、真棒、真聰明，……”。當聽到“好能干羅，減法都會了”的夸獎后，她就產生了還要做減法的欲望；當聽到“真聰明，連初中的題都會做了”的表揚時，她就要求還要做大學的題；當她將更難的“大學”的題做出來，并聽到表揚“哎呀，真是不得了，大學的題也會了”時，她又提出要求做更難的題。就這樣，一旦將兒童的學習熱情調動起來后，你想要她不學都還困難，更不用說還要強迫她學習了。本案例中，兒童的學習熱情甚至達到這樣的程度：我在實在扭不過她的情況下，就強行哄她走開。哄她不走，又只好出幾個題難住她。這時她才慢慢降低繼續學習的熱情，才很不情愿地走開。但后來，每當她走到我身邊玩耍時，都會主動提出要求說“爸爸，又來1+1，又來做減法嘛”。也許在她看來，能做出筆者出的減法題，就是一種成功、滿足和快樂。要是我們的數學教育都是這樣，使學生以學習數學為滿足和快樂，那該有多好啊。

　　（4）在數學教育中，可能對年齡越小的兒童越是要“重實質輕形式”。本案例中，筆者沒有搞一點形式化的東西。兒童連一個符號都沒有看到，也沒有寫出，卻也能很快學會初中學生才學習的知識；一點形式都沒有，也能達到數學教育的目的，甚至比形式化的教學效果更好，效率更高。一方面，只要抓住了減法的實質，不一定要寫出數字，列出算式進行筆算。口算照樣可以達到使兒童深刻理解減法涵義和運用減法解決實際問題的目的，甚至有時口算比筆算更有利于數學思維的訓練。另一方面，由于在引導兒童的過程中，筆者緊緊抓住減法的實質，進行小跨度和小數字的問題設置，使兒童學起來十分輕松，其知識也在潤物細無聲中生長起來了。

　　（5）筆者發現，兒童的許多思維方式并不是我們成年人或者教育者想象的那樣；兒童的大腦里潛藏著大量的創造性思維方式。比如，兒童學習加減法時，很多時候似乎并沒有按我們成年人那樣去推理或計算，并且也不需要給她講多少道理，她就可以憑經驗進行類推。雖然這樣的類推有時是錯誤的，但在其知識十分有限的條件下，這可能是她的思維策略中最佳或者唯一的選擇。當類推的結果得到肯定時，她就記住這一經驗，并會在以后繼續這樣類推；否則，她就建立新的正確的經驗，然后在新經驗基礎上又進行類推。如本案例中，當兒童依次回答“10+3=13，20+5=25，70+7=77”后，再問她“3+20=？”時，她就會憑前面回答的經驗類推出“3+20等于三二十”的答案。這一錯誤經驗就需要引導者給予糾正，即告訴她不能說成三二十，要把十說在前面，說成二十三。以后她就能在新的正確經驗基礎上類推出“5+80=85”了。同樣，兒童也是由“-1-2=-3”類推出“-100-200=-300”，進而類推出“-200-300=-500”等等的。又比如，在一次加法游戲中，當我念出“a,o---a,o---a,o,a,o”要她回答一共有幾個“a”或“o”時，她很快就答出是8個。我以為她是按照“2+2+4=8”得到答案的，但如果是這樣計算的話，就不可能那么快說出答案。我問她為何這么快就能說出答案，她說是數出來的。原來她是按照我念的節奏，在心中這樣默默數出答案的：“1，2---3，4---5，6，7，8”。這當然比我的加法速度還要快。我真沒想到還可以這樣“計算”。

　　由此可見，兒童又有多少與成人不同的思維方式，他們又有多少創造性思維方式沒有被我們所發掘。這是不是也在說明“在培養兒童的創造力過程中，只要我們不扼殺兒童的創造力，就謝天謝地了”呢？

　　（6）事事洞明皆學問，人情練達即文章。一方面，更多更實在的教育研究、教育發現就在我們身邊，就在我們每一次的教育教學行動中。我們要善于洞察、發現和捕捉兒童微妙的表情變化和思維火花的閃現。因此，行動研究是了解、研究和窺探兒童心理和發現兒童認知規律的十分有效的途徑。另一方面，對在實踐中所捕捉和發現到的、原始的、零散而有價值的東西，要及時反思、篩選、梳理和提煉，使之上升為理論，整理成文章。本案例中，筆者通過“1+1”模式的一次行動研究就獲得了以上幾點收獲，這是閱讀任何一本書都無法取代的。

　　由是觀之，我們在做數學教育研究時，應該更多地深入實踐，更多地深入數學教育教學的“田間地頭”。或許那里才是豐富的教育研究寶藏的埋藏地。

　　重慶郵電學院應用技術學院 潘建輝

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